análisis de una función de grado 4

En la siguiente actividad se analizará de forma completa una función de grado 4, utilizando el programa wolframalpha. La función a analizar será: f(x)= x⁴-2x³-7x²+8x +12

Dominio: IR

Imagen: IR≥ -4

Raíces: -2,-1, 2 y 3

Ordenada al origen: 12

C⁺: (-∞;-2) u (-1; 2) u (3;∞)

C^-: (-2;-1) u (2; 3)

Para hallar los máximos y los mínimos primero debemos obtener la derivada que es igual a: f´(x)=4x³-6x²-14x+8.

Luego de hallar la derivada utilizaremos Gauss para encontrar los puntos críticos

P = ±1;±2;±4;±8

Q = 1, 2, 4,-1,-2,-4

P/Q= ±1; ±1/2; ±1/4;±2;±4;±8

Con el valor ½ , la deriva da se iguala a 0 lo que nos permite obtener el primer punto critico.

Para hallar los otros puntos, primero se utiliza rufini para obtener la función cuadrática:

Luego realizamos la ecuación de la función cuadrática =

f´(x)= 4x²-4x-16

Para conocer en que valor de Y estarán los puntos críticos debemos reemplazar en la función original los resultados anteriores:

f(1/2)= ½⁴-2.1/2³-7.1/2²+8.1/2+12 = 14.06

f (2.56)=2,56⁴-2.2,56³-7.2,56²+8.2,56+12= -4

f(-1,56)= -4

los puntos críticos son: (0.5; 14.06), (2.56;-4), (-1.56;-4)

Para conocer que puntos son máximos y cuales mínimos debemos reemplasar los mismos valores anteriores en la subderivada: f´´(x)=8x-4

F´´ (2.56) > 0 mínimo

F´´(-1.56) > 0 mínimo

F´´(1/2) menor a 0 maximo

Los intervalos de crecimiento son: (-1.56;0.5) u (2.56;∞)

Y los de decrecimiento son: (-∞; -1.56) u(0.5 ; 2.56)